Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

2\underline{o} recupero recupero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (A) 3–3-07 A.A. 2006/2007

Si risolvano gli esercizi scrivendo negli appositi spazi il risultato. Sui fogli protocollo (la bella) riportare lo svolgimento. Senza lo svolgimento, gli esercizi non verranno presi in considerazione

Coloro che recuperano la seconda parte di programma risolvano gli esercizi num. 1, 2, 3.

Coloro che recuperano tutto il programma risolvano gli esercizi 1, 4, 6.

Problema n.1 (13) Sia ω un numero reale non nullo e α un parametro reale. Si consideri la seguente equazione integro–differenziale

\{ \begin{matrix}\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} τ^{2} · y′(t − τ)dτ + \frac{1}{α}y(t) = 1 + sin(ωt) \\ y(0) = α \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per α > 0, α ≠ ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si risolva l’equazione per α = ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

3) Si risolva l’equazione per α < 0 e si scriva qui sotto la soluzione:

4) Per α < 0 si scriva qui sotto il valore del limite lim_{t→+∞} \frac{y(t)}{e^{\sqrt{|α|}t}}

Problema n.2 (13) Siano a e T due numeri reali positivi e ε un parametro reale. Si consideri la equazione

\{ \begin{matrix}u_{tt} − a^{2}u_{xx} = H(t − \frac{x}{ε}) t > 0 \\ u(x, 0) = 1, u_{t}(x, 0) = 0, u_{x}(0, t) = H(t − T) \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per ε ≠ a e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si consideri il caso ε = a e si scriva qui sotto la soluzione:

Problema n.3 (8) Sia dato il seguente problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y′′′(t) − y′′(t) − y′ + y = a, \\ y(0) = y′(0) = y′′ = 0 \end{matrix}

Si scriva qui sotto la soluzione y(t; a)

Si scriva il valore del limite lim_{t→+∞} e^{−t}y(t; a)

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Problema n.4 (12) Sia data la funzione complessa f(z) = \frac{\sqrt{2}z^{3} + z^{2} − \sqrt{2}z}{z^{4} − z^{2} + 1}

1) Si scriva l’insieme D in cui è olomorfa

2) Nell’ordine si scriva il risultato degli integrali ∮_{γ} f(z)dz che seguono (le curve sono percorse in senso antiorario) :

i) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (10, 0), (10, 10), (0, 10) ii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−10, 0), (−10, 10), (0, 10) iii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (10, 0), (10, −10), (0, −10) iv) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−10, 0), (−10, −10), (0, −10)

v) γ è il parallelogramma di vertici i punti: (\frac{1}{\sqrt{3}}, 2), (\sqrt{3}, 2), (\frac{−1}{\sqrt{3}}, −2), (−\sqrt{3}, −2) vi) γ è il quadrato di centro l’origine e lato 10 Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + x^{2} + x + 1}dx. Si scriva qui il risultato

Avvertimento: che non venga in mente di scrivere ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + x^{2} + x + 1}dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + x^{2} + x + 1}dx 2\underline{o} recupero recupero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (B) 3–3-07 A.A. 2006/2007

Si risolvano gli esercizi scrivendo negli appositi spazi il risultato. Sui fogli protocollo (la bella) riportare lo svolgimento. Senza lo svolgimento, gli esercizi non verranno presi in considerazione

Coloro che recuperano la seconda parte di programma risolvano gli esercizi num. 1, 2, 3.

Coloro che recuperano tutto il programma risolvano gli esercizi 1, 4, 6.

Problema n.1 (13) Sia ω un numero reale non nullo e α un parametro reale. Si consideri la seguente equazione integro–differenziale

\{ \begin{matrix}\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} τ^{2} · y′(t − τ)dτ + \frac{1}{α}y(t) = 1 − sin(ωt) \\ y(0) = α \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per α > 0, α ≠ ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si risolva l’equazione per α = ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

3) Si risolva l’equazione per α < 0 e si scriva qui sotto la soluzione:

4) Per α < 0 si scriva qui sotto il valore del limite lim_{t→+∞} \frac{y(t)}{e^{\sqrt{|α|}t}}

Problema n.2 (13) Siano a e T due numeri reali positivi e ε un parametro reale. Si consideri la equazione

\{ \begin{matrix}u_{tt} − a^{2}u_{xx} = H(t − \frac{x}{ε}) t > 0 \\ u(x, 0) = 1, u_{t}(x, 0) = 0, u_{x}(0, t) = δ(t − T) \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per ε ≠ a e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si consideri il caso ε = a e si scriva qui sotto la soluzione:

Problema n.3 (8) Sia dato il seguente problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y′′′(t) − 3y′′(t) + 3y′ − y = a, \\ y(0) = y′(0) = y′′ = 0 \end{matrix}

Si scriva qui sotto la soluzione y(t; a)

Si dica quanto deve valere a affinché si abbia lim_{t→+∞} t^{−2}e^{−t}y(t; a) = 2

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Problema n.4 (12) Sia data la funzione complessa f(z) = \frac{z^{3} + z^{2} − 2z}{z^{4} − 2z^{2} + 4}

1) Si scriva l’insieme D in cui è olomorfa

2) Nell’ordine si scriva il risultato degli integrali ∮_{γ} f(z)dz che seguono (le curve sono percorse in senso antiorario) :

i) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (10, 0), (10, 10), (0, 10) ii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−10, 0), (−10, 10), (0, 10) iii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (10, 0), (10, −10), (0, −10) iv) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−10, 0), (−10, −10), (0, −10)

v) γ è il parallelogramma di vertici i punti: (\frac{1}{\sqrt{3}}, 3), (\frac{5}{\sqrt{3}}, 3), (\frac{−1}{\sqrt{3}}, −3), (\frac{−5}{\sqrt{3}}, −3), vi) γ è il quadrato di centro l’origine e lato 10 Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + x^{2} + 4x + 4}dx Si scriva qui il risultato

Avvertimento: che non venga in mente di scrivere ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + x^{2} + 4x + 4}dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + x^{2} + 4x + 4}dx

2\underline{o} recupero recupero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (C) 3–3-07 A.A. 2006/2007

Si risolvano gli esercizi scrivendo negli appositi spazi il risultato. Sui fogli protocollo (la bella) riportare lo svolgimento. Senza lo svolgimento, gli esercizi non verranno presi in considerazione

Coloro che recuperano la seconda parte di programma risolvano gli esercizi num. 1, 2, 3.

Coloro che recuperano tutto il programma risolvano gli esercizi 1, 4, 6.

Problema n.1 (13) Sia ω un numero reale non nullo e α un parametro reale. Si consideri la seguente equazione integro–differenziale

\{ \begin{matrix}\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} τ^{2} · y′(t − τ)dτ + \frac{1}{α}y(t) = 1 + cos(ωt) \\ y(0) = 2α \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per α > 0, α ≠ ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si risolva l’equazione per α = ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

3) Si risolva l’equazione per α < 0 e si scriva qui sotto la soluzione:

4) Per α < 0 si scriva qui sotto il valore del limite lim_{t→+∞} \frac{y(t)}{e^{\sqrt{|α|}t}}

Problema n.2 (13) Siano a e T due numeri reali positivi e ε un parametro reale. Si consideri la equazione

\{ \begin{matrix}u_{tt} − a^{2}u_{xx} = H(t − \frac{x}{ε}) t > 0 \\ u(x, 0) = t, u_{t}(x, 0) = 1, u(0, t) = H(t − T) \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per ε ≠ a e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si consideri il caso ε = a e si scriva qui sotto la soluzione:

Problema n.3 (8) Sia dato il seguente problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y′′′(t) + 3y′′(t) + 3y′ + y = 2, \\ y(0) = y′(0) = y′′ = 0 \end{matrix}

Si scriva qui sotto la soluzione y(t)

Si dica quanto vale lim_{t→+∞} t^{2}y(t)

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Problema n.4 (12) Sia data la funzione complessa f(z) = \frac{z^{3} + \sqrt{2}z^{2} − 4z}{z^{4} − 4z^{2} + 16}

1) Si scriva l’insieme D in cui è olomorfa

2) Nell’ordine si scriva il risultato degli integrali ∮_{γ} f(z)dz che seguono (le curve sono percorse in senso antiorario) :

i) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (10, 0), (10, 10), (0, 10) ii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−10, 0), (−10, 10), (0, 10) iii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (10, 0), (10, −10), (0, −10) iv) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−10, 0), (−10, −10), (0, −10)

v) γ è il parallelogramma di vertici i punti: (\frac{1}{\sqrt{3}}, 5), (\frac{9}{\sqrt{3}}, 5), (\frac{−1}{\sqrt{3}}, −5), (\frac{−9}{\sqrt{3}}, −5), vi) γ è il quadrato di centro l’origine e lato 10 Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2}dx Si scriva qui il risultato

Avvertimento: che non venga in mente di scrivere ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2}dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2}dx

2\underline{o} recupero recupero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica Compito (D) 3–3-07 A.A. 2006/2007

Si risolvano gli esercizi scrivendo negli appositi spazi il risultato. Sui fogli protocollo (la bella) riportare lo svolgimento. Senza lo svolgimento, gli esercizi non verranno presi in considerazione

Coloro che recuperano la seconda parte di programma risolvano gli esercizi num. 1, 2, 3.

Coloro che recuperano tutto il programma risolvano gli esercizi 1, 4, 6.

Problema n.1 (13) Sia ω un numero reale non nullo e α un parametro reale. Si consideri la seguente equazione integro–differenziale

\{ \begin{matrix}\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} τ^{2} · y′(t − τ)dτ + \frac{1}{α}y(t) = 2 − cos(ωt) \\ y(0) = α \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per α > 0, α ≠ ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si risolva l’equazione per α = ω^{2} e si scriva qui sotto la soluzione:

3) Si risolva l’equazione per α < 0 e si scriva qui sotto la soluzione:

4) Per α < 0 si scriva qui sotto il valore del limite lim_{t→+∞} \frac{y(t)}{e^{\sqrt{|α|}t}}

Problema n.2 (13) Siano a e T due numeri reali positivi e ε un parametro reale. Si consideri la equazione

\{ \begin{matrix}u_{tt} − a^{2}u_{xx} = H(t − \frac{x}{ε}) t > 0 \\ u(x, 0) = t, u_{t}(x, 0) = 1, u(0, t) = δ(t − T) \end{matrix}

1) Si risolva l’equazione per ε ≠ a e si scriva qui sotto la soluzione:

2) Si consideri il caso ε = a e si scriva qui sotto la soluzione:

Problema n.3 (8) Sia dato il seguente problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y′′′(t) + y′′(t) − y′ − y = 2, \\ y(0) = y′(0) = y′′ = 0 \end{matrix}

Si scriva qui sotto la soluzione y(t)

Si dica quanto vale lim_{t→+∞} t^{−1}e^{t}y(t)

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Problema n.4 (12) Sia data la funzione complessa f(z) = \frac{z^{3} + 2z^{2} − 8z}{z^{4} − 8z^{2} + 64}

1) Si scriva l’insieme D in cui è olomorfa

2) Nell’ordine si scriva il risultato degli integrali ∮_{γ} f(z)dz che seguono (le curve sono percorse in senso antiorario) :

i) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (20, 0), (20, 10), (0, 20) ii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−20, 0), (−20, 20), (0, 20) iii) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (20, 0), (20, −20), (0, −20) iv) γ è la curva percorsa in senso antiorario di vertici i punti: (0, 0), (−20, 0), (−20, −20), (0, −20)

v) γ è il parallelogramma di vertici i punti: (\frac{1}{\sqrt{3}}, 9), (\frac{17}{\sqrt{3}}, 9), (\frac{−1}{\sqrt{3}}, −9), (\frac{−17}{\sqrt{3}}, −9), vi) γ è il quadrato di centro l’origine e lato 20 Problema n.5 (8) Si calcoli l’integrale ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + 3x^{2} + 3x + 3}dx Si scriva qui il risultato

Avvertimento: che non venga in mente di scrivere ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + 3x^{2} + 3x + 3}dx = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x^{2/3}}{x^{3} + 3x^{2} + 3x + 3}dx

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Soluzioni del 2\underline{o} recupero recupero di Analisi II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica 3–3-07 A.A. 2006/2007

Primo esercizio compito (A,B) In trasformata di Laplace (v(p) = L(y)) abbiamo \frac{v}{p^{2}} + \frac{v}{p} = \frac{1}{p} + \frac{α}{p^{3}} ±

\frac{ω}{ω^{2} + p^{2}} e quindi v = \frac{pα}{p^{2} + α} + \frac{α^{2}}{p(p^{2} + α)} ± \frac{ωαp^{2}}{(p^{2} + α)(p^{2} + ω^{2})} = \frac{α}{p} ± \frac{ωαp^{2}}{(p^{2} + α)(p^{2} + ω^{2})}

• α > 0, α ≠ ω. y(t) = α ± \frac{e^{i\sqrt{α}t}(−α^{2})}{2i\sqrt{α}} \frac{ω}{ω^{2} − α} ± \frac{e^{−i\sqrt{α}t}(−α^{2})}{−2i\sqrt{α}} \frac{ω}{ω^{2} − α} ± \frac{e^{iωt}(−αω^{2})}{α − ω^{2}} \frac{ω}{2iω} ± \frac{e^{−iωt}(αω^{2})}{α − ω^{2}} \frac{−ω}{2iω} =

α ± \frac{αω^{2}}{ω^{2} − α} sin(ωt) ∓ \frac{ωα^{3/2}}{ω^{2} − α} sin \sqrt{α}t

• α = ω^{2}. In questo caso abbiamo v(x, p) = \frac{pω^{2}}{p^{2} + ω^{2}} + \frac{ω^{4}}{p(p^{2} + ω^{2})} ± \frac{ω^{3}p^{2}}{(p^{2} + ω^{2})^{2}} = \frac{ω}{p} ± \frac{ω^{3}p^{2}}{(p^{2} + ω^{2})^{2}} e quindi

y(t) = ω^{2} ± \frac{tω^{3}}{2} cos(ωt) ± \frac{1}{2}ω^{2} sin(ωt)

• α < 0. v(x, p) = \frac{−p|α|}{p^{2} − |α|} + \frac{α^{2}}{p(p^{2} − |α|)} ± \frac{ωαp^{2}}{(p^{2} + ω^{2})(p^{2} − |α|)} = −\frac{|α|}{p} ± \frac{ωαp^{2}}{(p^{2} + ω^{2})(p^{2} − |α|)} da cui y(t) =

α ± ωα\frac{\sqrt{|α|}}{ω^{2} + |α|} sinh(\sqrt{|}α|t) ± \frac{ω^{2}α}{ω^{2} + |α|} sin(ωt)

• Il valore del limite è ±\frac{ωα\sqrt{|α|}}{ω^{2} + |α|} \frac{1}{2}

Secondo esercizio compito A a ≠ ε L’equazione per la funzione v(x, p) = L(u(x, t)) è a^{2}v_{xx} − p^{2}v = −p − \frac{e^{−xp/ε}}{p} , v_{x}(x, 0) = \frac{e^{−pT}}{p} la cui soluzione è (per la non omogenea si provi la soluzione ξ + ηe^{− \frac{x}{ε} p})

v(x, p) = (\frac{aε}{p^{3}(a^{2} − ε^{2})} − \frac{a}{p^{2}} e^{−T p})e^{− \frac{x}{a} p} + \frac{1}{p} − \frac{ε^{2}}{p^{3}(a^{2} − ε^{2})}e^{− \frac{x}{ε} p} e quindi v(x, p) = \frac{1}{2} \frac{aε}{a^{2} − ε^{2}} (t − \frac{x}{a})^{2}H(t −

\frac{x}{a}) − a(t − T − \frac{x}{a})H(t − T − \frac{x}{a}) + 1 − \frac{1}{2} \frac{ε^{2}}{a^{2} − ε^{2}} (t − \frac{x}{ε})^{2}H(t − \frac{x}{ε})

• a = ε L’equazione per la funzione v(x, p) = L(u(x, t)) è a^{2}v_{xx} − p^{2}v = −p − \frac{e^{−xp/a}}{p} , v_{x}(x, 0) = \frac{e^{−pT}}{p} la

cui soluzione è (per la non omogenea si provi la soluzione ξ + ηxe^{− \frac{x}{a} p}) v(x, p) = \frac{e^{−xp/a}}{2p^{2}} − \frac{a}{p^{2}} e^{−pT − \frac{x}{a} p} + \frac{1}{p} +

\frac{x}{2ap^{2}} e^{− \frac{x}{a} p} e quindi u(x, t) = \frac{1}{2}(t − \frac{x}{a})H(t − \frac{x}{a}) − a(t − T − \frac{x}{a})H(t − T − \frac{x}{a}) + 1 + \frac{x}{2a}(t − \frac{x}{a})H(t − \frac{x}{a})

Secondo esercizio compito B a ≠ ε L’equazione per la funzione v(x, p) = L(u(x, t)) è a^{2}v_{xx} − p^{2}v = −p − \frac{e^{−xp/ε}}{p} , v_{x}(0, p) = e^{−pT} la cui soluzione è (per la non omogenea si provi la soluzione ξ + ηe^{− \frac{x}{ε} p})

v(x, p) = (\frac{aε}{p^{3}(a^{2} − ε^{2})} − \frac{a}{p}e^{−T p})e^{− \frac{x}{a} p} + \frac{1}{p} − \frac{ε^{2}}{p^{3}(a^{2} − ε^{2})}e^{− \frac{x}{ε} p} e quindi v(x, p) = \frac{1}{2} \frac{aε}{a^{2} − ε^{2}} (t − \frac{x}{a})^{2}H(t − \frac{x}{a}) −

aH(t − T − \frac{x}{a}) + 1 − \frac{1}{2} \frac{ε^{2}}{a^{2} − ε^{2}} (t − \frac{x}{ε})^{2}H(t − \frac{x}{ε})

• a = ε L’equazione per la funzione v(x, p) = L(u(x, t)) è a^{2}v_{xx} − p^{2}v = −p − \frac{e^{−xp/a}}{p} , v_{x}(x, 0) = e^{−pT} la cui soluzione è (per la non omogenea si provi la soluzione ξ+ηxe^{− \frac{x}{a} p}) v(x, p) = \frac{e^{−xp/a}}{2p^{2}} − \frac{a}{p}e^{−pT − \frac{x}{a} p}+ \frac{1}{p} + \frac{x}{2ap^{2}} e^{− \frac{x}{a} p}

e quindi u(x, t) = \frac{1}{2}(t − \frac{x}{a})H(t − \frac{x}{a}) − aH(t − T − \frac{x}{a}) + 1 + \frac{x}{2a}(t − \frac{x}{a})H(t − \frac{x}{a})

5/gennaio/2022; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 9

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Terzo esercizio compito A (p^{3} − p^{2} − p + 1)v = \frac{a}{p} per cui v = \frac{a}{p(p − 1)^{2}(p + 1)} e quindi y(t) = a − \frac{3}{4}ae^{t} − \frac{1}{4}ae^{−t} + \frac{1}{2}ate^{t}, ed il limite richiesto era +∞ se a > 0, 0 se a = 0 e −∞ se a < 0

Terzo esercizio compito B (p^{3} − 3p^{2} − 3p − 1)v = \frac{a}{p} per cui v = \frac{a}{p(p − 1)^{3}} e quindi y(t) = −a + ae^{t} − ate^{t} + \frac{1}{2}at^{2}e^{t} ed il limite richiesto era \frac{1}{2}a

Quarto esercizio compito A Il denominatore della funzione si annulla nei punti z_{1} = e^{i \frac{π}{6}} , z_{2} = e^{i \frac{5}{6} π}, z_{3} = e^{i \frac{7}{6} π}, z_{4} = e^{i \frac{−π}{6}} , e quindi la funzione è olomorfa dappertutto tranne in quei quattro punti.

i) π \frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{3} − \sqrt{2} + i(1 + \sqrt{6})) ii) π \frac{\sqrt{3}}{6}(\sqrt{2} − \sqrt{3} + i(1 + \sqrt{6})) iii) π \frac{\sqrt{6} + 3}{6} + i(\frac{3\sqrt{2} − \sqrt{3}}{6}) iv)

π \frac{−\sqrt{6} − 3}{6} + i(\frac{3\sqrt{2} − \sqrt{3}}{6})

v) All’interno del rettangolo entra solamente z_{1} e quindi il risultato è lo stesso di i). vi) Si possono sommare i)–iv) oppure calcolare il residuo nel punto all’infinito (−\sqrt{2}) e quindi I = 2\sqrt{2}πi Quarto esercizio compito B Il denominatore della funzione si annulla nei punti z_{1} = \sqrt{2}e^{i \frac{π}{6}} , z_{2} = \sqrt{2}e^{i \frac{5}{6} π}, z_{3} = \sqrt{2}e^{i \frac{7}{6} π}, z_{4} = \sqrt{2}e^{i \frac{−π}{6}} , e quindi la funzione è olomorfa dappertutto tranne in quei quattro punti.

i) π \frac{1}{25}(11 − 4\sqrt{6} + i(3\sqrt{6} + \frac{21}{2})) ii) π \frac{1}{25}(4\sqrt{6} − 11 + i(3\sqrt{6} + \frac{21}{2})) iii) π \frac{1}{25}(4\sqrt{6} + 11 + i(\frac{21}{2} − 3\sqrt{6}))

iv) π \frac{1}{25}(−4\sqrt{6} − 11 + i(\frac{21}{2} − 3\sqrt{6}))

v) La soluzione z = z_{1} sta sul rettangolo e quindi avrei dovuto scrivere l’integarle con V.P. davanti. Gli altri valori z_{2}, z_{3}, z_{4} stanno fuori del rettangolo. Con il valor principale, l’integrale vale −πi lim_{z→z_{1}}(z − z_{1})f(z) =

−π \frac{1}{50}(11 − 4\sqrt{6} + i(3\sqrt{6} + \frac{21}{2}))

vi) Si possono sommare i)–iv) oppure calcolare il residuo nel punto all’infinito (−1) e quindi I = 2πi

Quinto esercizio compito A Con il solito cammino a “pacman” si perviene al risultato I(1 − e^{i \frac{4}{3} π}) =

2πi(Resf(−1) + Resf(−i) + Resf(i)) = 2πi(\frac{e^{i \frac{2}{3} π}}{2} + \frac{e^{i \frac{1}{2} \frac{2}{3} π}}{2i(1 + i)} − \frac{e^{i \frac{3}{2} \frac{2}{3} π}}{2i(1 − i)}) da cui I = πi\frac{e^{i \frac{2}{3} π}}{(1 − e^{i \frac{4}{3} π})} + π(1 +

e^{i \frac{π}{3}} )^{−1}(\frac{e^{i \frac{π}{3}}}{2} (1 − i) + \frac{1 + i}{2}) I = −\frac{π}{\sqrt{3}} + \frac{π}{2} (1 + i\frac{e^{−i \frac{π}{6}} − e^{i \frac{π}{6}}}{e^{−i \frac{π}{6}} + e^{i \frac{π}{6}}} ) e quindi I = −\frac{π}{\sqrt{3}} + \frac{π}{2} (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{2} (1 − \frac{\sqrt{3}}{3})

Quinto esercizio compito B Con il solito cammino a “pacman” si perviene al risultato I(1 − e^{i \frac{4}{3} π}) =

2πi(Resf(−1)+Resf(−i)+Resf(i)) = 2πi(\frac{e^{i \frac{2}{3} π}}{5} + \frac{e^{i \frac{1}{2} \frac{2}{3} π}}{4i(1 + 2i)} − \frac{e^{i \frac{3}{2} \frac{2}{3} π}}{4i(1 − 2i)}) da cui I = πi\frac{e^{i \frac{2}{3} π}}{5(1 − e^{i \frac{4}{3} π})} + \frac{π}{10}(1+

e^{i \frac{π}{3}} )^{−1}(1+e^{i \frac{π}{3}} +2i−2ie^{i \frac{π}{3}} ) I = −\frac{π}{10} \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{π}{10}(1+2i\frac{e^{−i \frac{π}{6}} − e^{i \frac{π}{6}}}{e^{−i \frac{π}{6}} + e^{i \frac{π}{6}}} ) e quindi I = −\frac{π}{10} \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{π}{10}(1+2\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{10}